4.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+2|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)<0的解集;
(2)若?x∈R,f(x)+t3+2t≥0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}x+4,x≥2\\ 3x,-1<x<2\\-x-4,x≤-1\end{array}\right.$,分類討論,求得f(x)>2的解集.
(2)由f(x)的解析式求得f(x)的最小值為f(-1)=-3,可得t3+2t-3≥0,即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解答 解:(1)f(x)=|2x+2|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}x+4,x≥2\\ 3x,-1<x<2\\-x-4,x≤-1\end{array}\right.$
當(dāng)x≤-1時(shí),不等式即-x-4<0,求得x>-4,∴-4<x≤-1.
當(dāng)-1<x<2時(shí),不等式即3x<0,求得x<0,∴-1<x<0.
當(dāng)x≥2時(shí),不等式即x+4<0,求得x<-4,不成立.
綜上所述,f(x)<0的解集為(-4,0).
(2)由(1)知,f(x)最小值為-3,∴t3+2t-3≥0
∴(t-1)(t2+t+3)≥0,又∵t2+t+3>0恒成立,
∴t≥1.

點(diǎn)評(píng) 主要考查絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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