已知橢圓與雙曲線有兩個公共點,且橢圓m與雙曲線n的離心率之和為2.
(1)求橢圓m的方程;
(2)過橢圓m上的動點P作互相垂直的兩條直線l1,l2,l1與圓O:x2+y2=a2+b2相交于點A,C,l2與圓x∈[2,6]相交于點B,D,求四邊形ABCD的面積的最小值.

【答案】分析:(1)由題設條件得a=2,再由雙曲線n的離心率為,知橢圓m的離心率.由此能求出橢圓m的方程.
(2)圓O的方程為x2+y2=7.若,則,橢圓m落在圓O內(nèi).設點P(x,y)到直線l1,l2的距離分別為d1,d2,則.由此入手能夠求出四邊形ABCD的面積的最小值.
解答:解:(1)若a>2,則橢圓m與雙曲線n有四個公共點;
若0<a<2,則橢圓m與雙曲線n沒有公共點;
若a=2,則橢圓m與雙曲線n有公共點(±2,0).
由題意,可得a=2.…(3分)
又雙曲線n的離心率為
則橢圓m的離心率
所以橢圓m的方程為.…(6分)
(2)圓O的方程為x2+y2=7.
,
,
即橢圓m落在圓O內(nèi).
如圖,設點P(x,y)到直線l1,l2的距離分別為d1,d2,
,…(7分)
由l1⊥l2,得d12+d22=OP2=x2+y2
四邊形ABCD的面積…(9分)
由點P(x,y)在橢圓m上,

,得.…(11分)
當且僅當d1d2=0且y=0,
即P的坐標為(-2,0),
直線l1,l2的方程為y=0,
x=-2或P的坐標為(2,0),
直線l1,l2的方程為y=0,x=2時,.…(13分)
所以四邊形ABCD的面積的最小值為.…(14分)
點評:本題考查和橢圓的關系的綜合運用,解題時要認真審題,仔細解答,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉化.
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已知橢圓+=1和雙曲線-=1,下列四個命題中正確的是(    )

①橢圓的焦點是雙曲線的頂點  ②雙曲線的兩個焦點是橢圓的兩個頂點  ③橢圓與雙曲線有公共焦點  ④橢圓與雙曲線有兩個頂點相同

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已知橢圓與雙曲線(m,n,p,q∈R+)有共同的焦點F1,F(xiàn)2,P是兩曲線的一個公共交點.則|PF1|•|PF2|的值是( )
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(08年鷹潭市二模理)有以下幾個命題

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④若直線在平面內(nèi)的射影依次為一個點和一條直線,且,則;

⑤設A、B為平面上兩個定點,P為動點,若,則動點P的軌跡為圓

其中真命題的序號為               ;(寫出所有真命題的序號) 

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