Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值和最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵cos²x=（1+cos2x），sinxcosx=sin2x，
∴
=（1+cos2x）+sin2x-1=…（4分）
==…（6分）
因此，函數(shù)f（x）的最小正周期為．…（7分）
（Ⅱ）∵，得…（9分）
∴，可得-1≤≤2
當(dāng)時(shí)，即x=時(shí)，，此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值為2．…（11分）
當(dāng)時(shí)，即x=時(shí)，，此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值為-1．…（13分）
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值為f（）=-1，最大值為f（）=2．
分析：（I）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)得f（x）=，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）根據(jù)x∈，得到∈[，]，由此結(jié)合正弦函數(shù)圖象在區(qū)間[，]上的單調(diào)性，即可得到f（x）在區(qū)間上的最大值與最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的周期并求在閉區(qū)間上的最值，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．