Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿足${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}={3^{n+1}}$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\left\{\begin{array}{l}9（{n=1}）\\{6^n}\;\;（{n≥2}）\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，當(dāng)n=1時(shí)求出a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，再寫出a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$=3ⁿ，相減可得數(shù)列的a_n，再驗(yàn)證，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}={3^{n+1}}$，①，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=9，
當(dāng)n≥2時(shí)，
∴a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$=3ⁿ，②，
由①-②可得，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2×3ⁿ，
∴a_n=6ⁿ，
驗(yàn)證，n=1時(shí)，a₁=6≠9，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{9，n=1}\\{{6}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：${a_n}=\left\{\begin{array}{l}9（{n=1}）\\{6^n}\;\;（{n≥2}）\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題