Question

已知點(diǎn)P是函數(shù)y=lnx的圖象上一點(diǎn)，在點(diǎn)P處的切線為l₁，l₁交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作l₁的垂線l₂，l₂交x軸于點(diǎn)N，MN的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)切點(diǎn)為（a，b），利用導(dǎo)數(shù)求出直線PM的方程，繼而求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)直線PM⊥直線PN，求出直線PN的方程，繼而求出N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值，問題得以解決．

解答： 解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），如圖所示，
∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=

1

x

，
∴直線PM的斜率k_PM=f′（a）=

1

a

，
∴直線PM的方程為y-b=

1

a

（x-a），
令y=0，解得x_M=a-ab，
∵直線PM⊥直線PN，
∴k_PN=-

1

kPM

=-a，
直線PN的方程為y-b=-a（x-a），
令y=0，解得x_N=a+

b

a

，
∵M(jìn)N的中點(diǎn)為Q，
∴x_Q=

1

2

（x_M+x_N=）=

1

2

（ a-ab+a+

b

a

），
又b=lna，
∴x_Q=

1

2

（a-alna+a+

lna

a

），
令g（a）=a-alna+a+

lna

a

，
∴g′（a）=1-（lna+1）+1+

1-lna

a2

=（1-lna）（1+

1

a2

），
令g′（a）=0，解的a=e，
當(dāng)0＜a＜e時，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞e時，g'（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，
當(dāng)a=e時取得極大值，即為最大值，最大值為g（e）=e-e+e+

1

e

=

e2+1

e

，
故點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的最大值為

e2+1

2e

故答案為：

e2+1

2e

點(diǎn)評：本題主要考查了曲線的切線方程和導(dǎo)數(shù)與最值得關(guān)系，關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．