Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+8），則實(shí)數(shù)c的值為________．

Answer 1

16
分析：根據(jù)二次函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），可得△=0，解之得b=a²．由此將關(guān)于x的不等式f（x）＜c化簡得x²+ax+a²-c＜0，再由根與系數(shù)的關(guān)系解方程x₁-x₂|=8，即可得到實(shí)數(shù)c=16．
解答：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴函數(shù)的最小值為0，可得△=a²-4b=0，即b=a²
又∵關(guān)于x的不等式f（x）＜c可化成x²+ax+b-c＜0，即x²+ax+a²-c＜0，
∴不等式f（x）＜c的解集為（m，m+8），也就是
方程x²+ax+a²-c的兩根分別為x₁=m，x₂=m+8，
∴，可得|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，
即（-a）²-4（a²-c）=64，解之即可得到c=16
故答案為：16
點(diǎn)評：本題給出二次函數(shù)的值域，討論關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集問題，著重考查了二次函數(shù)的值域、一元二次不等式解法和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．