Question

【題目】如圖，四棱錐的底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD，，，E為BC的中點．

求證：平面PAD；

求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2)

【解析】

連結(jié)BD，證明推出然后證明平面PAD；以點D為原點，DA，DE，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系求出平面BAD的一個法向量，平面PBA一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面PAD與平面PBC所成角的二面角的平面角的余弦值．

連結(jié)BD，由已知得與都是正三角形．

又因為點E為邊BC的中點，所以

又因為，所以．

又平面ABCD，平面ABCD，所以

又因為，AD，平面PAD，所以平面

以點D為原點，DA，DE，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空

間直角坐標系．

由知平面BAD的一個法向量為

，0，，0，所以，．

設(shè)平面PBA一個法向量為，

由，得，．

取，則，故．

設(shè)與的夾角為，則

所以平面PAD與平面PBC所成角的二面角的平面角的余弦值為