Question

15．已知橢圓3x²+y²=12，過原點(diǎn)且傾斜角分別為θ和π-θ兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D，則四邊形ABCD的面積的最大值等于8$\sqrt{3}$，此時(shí)θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)出直線過原點(diǎn)且傾斜角為θ的直線的方程和橢圓方程聯(lián)立即可表示出矩形ABCD的面積；運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，求得f（t）的最小值，可得面積的最大值．

解答 解：設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為θ的直線方程為y=xtanθ，
代入3x²+y²=12，
求得x²=$\frac{12}{3+ta{n}^{2}θ}$，y²=$\frac{12ta{n}^{2}θ}{3+ta{n}^{2}θ}$，
由對(duì)稱性可知四邊形ABCD為矩形，
又由于0＜θ＜$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{2}$＜θ＜π，
所以四邊形ABCD的面積S=4|x||y|=$\frac{48|tanθ|}{3+ta{n}^{2}θ}$，
設(shè)t=|tanθ|，t＞0，
則S=$\frac{48t}{3+{t}^{2}}$=$\frac{48}{t+\frac{3}{t}}$，（t＞0），
設(shè)f（t）=$\frac{3}{t}$+t，
f′（t）=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$，
當(dāng)0＜t＜$\sqrt{3}$時(shí)，f′（t）＜0，f（t）遞減，
t＞$\sqrt{3}$時(shí)，f′（t）＞0，f（t）遞增．
因?yàn)閒（t）在t=$\sqrt{3}$時(shí)，取最小值，
所以f（t）_min=f（$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$，
所以當(dāng)|tanθ|=$\sqrt{3}$，即θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$時(shí)，
S_max=8$\sqrt{3}$．
故答案為：8$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和橢圓的相關(guān)知識(shí)，三角函數(shù)的最值問題，考查換元法的思想，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．