Question

19．已知△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，記f（θ）=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$，
①求f（θ）關(guān)于θ的表達式．
②求f（θ）的值域．

Answer 1

分析 ①利用正弦定理求出AC的值，再利用平面向量的數(shù)量積計算f（θ）=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$；
②由①化簡f（x），利用θ的取值范圍，求出正弦函數(shù)的取值范圍即可．

解答 解：①如圖所示，
△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，
由正弦定理得，$\frac{AC}{sinθ}$=$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{1}{sin120°}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$
∴AC=$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$
∴f（θ）=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$
=1×$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$×cos（180°-120°-θ）
=$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$×（cos60°cosθ+sin60°sinθ）
=$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinθcosθ+sin²θ
=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$sin2θ-$\frac{1}{2}$cos2θ+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2θ-60°）+$\frac{1}{2}$，其中θ∈（0°，60°）；
②由①知，θ∈（0°，60°），
∴2θ∈（0°，120°），
∴2θ-60°∈（-60°，60°），
∴sin（2θ-60°）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2θ-60°）+$\frac{1}{2}$∈（0，1）；
即f（θ）的值域是（0，1）．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是綜合題．