3.某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度),設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為50元/平方米,底面的建造成本為100元/平方米.該蓄水池總建造成本為10800π元.(π為圓周率)
(Ⅰ)將V表示為r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.

分析 (I)由已知中側(cè)面積和底面積的單位建造成本,結(jié)合圓柱體的側(cè)面積及底面積公式,根據(jù)該蓄水池的總建造成本為10800π元,構(gòu)造方程整理后,可將V表示成r的函數(shù),進(jìn)而根據(jù)實(shí)際中半徑與高為正數(shù),得到函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)根據(jù)(I)中函數(shù)的定義值及解析式,利用導(dǎo)數(shù)法,可確定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性,可得函數(shù)的最大值點(diǎn).

解答 解:(Ⅰ)∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為100•πrh元,
底面積成本為100πr2元,
∴蓄水池的總建造成本為100•πrh+100πr2
即100•πrh+100πr2=10800π,
∴h=$\frac{1}{r}$(108-r2
∴V(r)=πr2h=πr2•$\frac{1}{r}$(108-r2)=π(108r-r3
又由r>0,h>0可得0<r<6$\sqrt{3}$
故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)椋?,6$\sqrt{3}$)
(Ⅱ)由(Ⅰ)中V(r)=π(108r-r3),(0<r<6$\sqrt{3}$)
可得V′(r)=π(108-3r2),(0<r<6$\sqrt{3}$)
∵令V′(r)=π(108-3r2)=0,則r=6
∴當(dāng)r∈(0,6)時(shí),V′(r)>0,函數(shù)V(r)為增函數(shù)
當(dāng)r∈(6,6$\sqrt{3}$)時(shí),V′(r)<0,函數(shù)V(r)為減函數(shù)
且當(dāng)r=6,h=12時(shí)該蓄水池的體積最大

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的應(yīng)用,其中(Ⅰ)的關(guān)鍵是根據(jù)已知,求出函數(shù)的解析式及定義域,(Ⅱ)的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)的單調(diào)性及最值點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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13.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|2y-1<0},則A∩B=( 。
A.(0,$\frac{1}{2}$)B.(0,1)C.($\frac{1}{2}$,1)D.(0,+∞)

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14.如圖所示,I為全集,M,P,S為I的子集,則圖中陰影部分所表示的集合為( 。
A.(M∩P)∪SB.(M∩P)∩SC.(M∩P)∩(∁IS)D.(M∩P)∪(∁IS)

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11.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,點(diǎn)M是橢圓上一點(diǎn),三角形MF1F2的面積的最大值為$\sqrt{2}$.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)不經(jīng)過焦點(diǎn)F1的直線?:y=kx+m與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B,如果直線AF1,?,BF1的斜率依次成等差數(shù)列,求m的取值范圍?

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18.已知x>0,y>0,且$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=2,若x+2y≥a恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為(  )
A.4B.2C.6D.8

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8.計(jì)算下列各值.
(1)8${\;}^{\frac{2}{3}}$+($\frac{1}{3}$)0-log28+$\sqrt{9}$
(2)$\frac{2lg2+lg3}{1+\frac{1}{2}lg0.36+\frac{1}{3}lg8}$.

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15.已知函數(shù)$f(x)=\frac{mx}{e^x}$在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為$y=-\frac{1}{e^2}({x+n})$.
(1)求m,n的值;
(2)過點(diǎn)$P({0,\frac{4}{e^2}})$作曲線y=f(x)的切線,求證:這樣的切線有兩條.

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12.已知圓臺(tái)OO′的母線長(zhǎng)為6,兩底面半徑分別為2,7,求該臺(tái)體的表面積和體積.

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13.某工廠制造A種儀器45臺(tái),B種儀器55臺(tái),現(xiàn)需用薄鋼板給每臺(tái)儀器配一個(gè)外殼.已知鋼板有甲、乙兩種規(guī)格:甲種鋼板每張面積2m2,每張可做A種儀器外殼3個(gè)和B種儀器外殼5個(gè),乙種鋼板每張面積3m2,每張可做A種儀器外殼6個(gè)和B種儀器外殼6個(gè).問甲、乙兩種鋼板各用多少張才能用料最省(“用料最省”是指所用鋼板的總面積最。

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