Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）設(shè)b_n=

an

2n-1

，證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ，可得

an+1

2n

-

an

2n-1

=1，即b_n+1-b_n=1．即可證明；
（2）由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，an=n•2n-1，再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，∴

an+1

2n

-

an

2n-1

=1，
∴b_n+1-b_n=1．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項為

a1

1

=1，公差為1．
（2）解：由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，
∴

an

2n-1

=n，
∴an=n•2n-1，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2S_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=

2n-1

2-1

-n×2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1．
∴S_n=（n-1）×2ⁿ+1．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．