Question

10．函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的單調(diào)減區(qū)間為（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$），若f（x）在[a-2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍為[4，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出其遞減區(qū)間．借助第一問(wèn)列出不等式求解函數(shù)的增區(qū)間時(shí)的a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$，f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
令y′＜0，即x²-a＜0解得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，且x≠0，
函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的單調(diào)減區(qū)間為：（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）．
f（x）在[a-2，+∞）上是增函數(shù)，可得a-2$≥\sqrt{a}$，a＞0，解得a≥4．
故答案為：（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）；[4，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題．