Question

19．已知圓E的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，取相同單位長度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．
（1）直線l過原點，且它的傾斜角α=$\frac{3π}{4}$，求l與圓E的交點A的極坐標（點A不是坐標原點）；
（2）直線m過線段OA中點M，且直線m交圓E于B、C兩點，求|MB|•|MC|為定值．

Answer 1

分析 （1）由直線l的傾斜角α=$\frac{3π}{4}$，可得直線l的極角θ=$\frac{3π}{4}$，或θ=$\frac{7π}{4}$．代入圓E的極坐標方程即可得出．
（2）由（1）可得：線段OA的中點M$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，可得直角坐標M．又圓E的極坐標方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得直角坐標方程，設直線l的參數(shù)方向為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得關于t的一元二次方程，利用|MB|•|MC|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|即可證明．

解答 解：（1）∵直線l的傾斜角α=$\frac{3π}{4}$，
∴直線l的極角θ=$\frac{3π}{4}$，或θ=$\frac{7π}{4}$．代入圓E的極坐標方程ρ=4sinθ
可得：$ρ=2\sqrt{2}$或ρ=-2$\sqrt{2}$（舍去）．
∴l(xiāng)與圓E的交點A的極坐標為$（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$．
（2）由（1）可得：線段OA的中點M$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，可得直角坐標M（-1，1）．
又圓E的極坐標方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標方程：x²+y²-4y=0，
設直線l的參數(shù)方向為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓的方程可得：t²-2t（sinα+cosα）-2=0，△＞0，
∴t₁t₂=-2．
∴|MB|•|MC|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=2，為定值．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、三角函數(shù)求值、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．