Question

18．已知三個(gè)正數(shù)a，b，c為等比數(shù)列，則$\frac{a+c}$+$\frac{a+c}$的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列求出a、b、c關(guān)系，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值．

解答 解：b²=ac⇒a+c≥2b⇒令y=$\frac{a+c}$+$\frac{a+c}$，設(shè)x=$\frac{a+c}$，x≥2，
因?yàn)閥=x+$\frac{1}{x}$在x≥2時(shí)是增函數(shù)，
所以y≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
則$\frac{a+c}$+$\frac{a+c}$的最小值為$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，本題的易錯(cuò)解$\frac{a+c}+\frac{a+c}≥2\sqrt{\frac{a+c}•\frac{a+c}}=2$，取等條件至關(guān)重要．