定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
; g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(1)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知m>-1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.
分析:(1)由題意知,|f(x)|≤3在[1,+∞)上恒成立.可得-3≤f(x)≤3,-4-(
1
4
)x≤a•(
1
2
)x≤2-(
1
4
)x
,化為-4•2x-(
1
2
)x≤a≤2•2x-(
1
2
)x
在[0,+∞)上恒成立,因此[-4•2x-(
1
2
)
x
]max≤a≤[2•2x-(
1
2
)
x
]min
.設(shè)2x=t,h(t)=-4t-
1
t
,p(t)=2t-
1
t
,先證明其單調(diào)性,即可得出其最值.
(2)g(x)=-1+
2
m•x2+1
,對(duì)m分類討論:m>0,m=0,-1<m<0,利用二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:解:(1)由題意知,|f(x)|≤3在[1,+∞)上恒成立.
∴-3≤f(x)≤3,-4-(
1
4
)x≤a•(
1
2
)x≤2-(
1
4
)x
,
-4•2x-(
1
2
)x≤a≤2•2x-(
1
2
)x
在[0,+∞)上恒成立,
[-4•2x-(
1
2
)
x
]max≤a≤[2•2x-(
1
2
)
x
]min

設(shè)2x=t,h(t)=-4t-
1
t
,p(t)=2t-
1
t

由x∈[0,+∞)得 t≥1,設(shè)1≤t1<t2
h(t1)-h(t2)=
(t2-t1)(4t1t2-1)
t1t2
>0
,
p(t1)-p(t2)=
(t1-t2)(2t1t2+1)
t1t2
<0

∴h(t)在[1,+∞)上遞減,p(t)在[1,+∞)上遞增,
h(t)在[1,+∞)上的最大值為h(1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值為p(1)=1.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5,1].
(2)g(x)=-1+
2
m•x2+1
,
若m>0,x∈[0,1],則g(x)在[0,1]上遞減,
∴g(1)≤g(x)≤g(0)即
1-m
1+m
≤g(x)≤1

若-1<m<0,x∈[0,1],則g(x)在[0,1]上遞增,
∴g(0)≤g(x)≤g(1)即1≤g(x)≤
1-m
1+m

①當(dāng)m>0時(shí),|
1-m
1+m
|<1
,|g(x)|<1此時(shí)  T(m)≥1,
②當(dāng)m=0,即,g(x)=1,|g(x)|=1此時(shí)  T(m)≥1,
③當(dāng)-1<m<0時(shí),|g(x)|<
1-m
1+m
,此時(shí) T(m)≥
1-m
1+m

綜上所述:當(dāng)m≥0時(shí),T(m)的取值范圍是[1,+∞);
當(dāng)-1<m<0時(shí),T(m)的取值范圍是  [
1-m
1+m
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、指數(shù)函數(shù)類型的函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,屬于難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.
已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x;g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)值域并說(shuō)明函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù)?
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)已知m>-1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界,已知函數(shù)f(x)=1+x+ax2
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[1,4]上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義在D上的函數(shù)f(x),若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2,使得對(duì)任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,則稱函數(shù)f(x)(x∈D)有一個(gè)寬度為d的通道.給出下列函數(shù):①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在區(qū)間[1,+∞)上通道寬度可以為1的函數(shù)有( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如右圖所示,定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)?x∈D,常數(shù)A,都有f(x)≥A成立,則稱函數(shù)f(x)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界.(提示:圖中的常數(shù)A可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零)
(1)試判斷函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上是否有下界?并說(shuō)明理由;
(2)已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S(t)=at-2
t+1
,要使在t∈[0,+∞)上的每一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度是以A=
1
2
為下界的函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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