分析:(Ⅰ)將a=1代入f(x)可得
f(x)=1+()x+()x,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)遞減函數(shù),即可求得f(x)>f(0),從而得到f(x)的值域,根據(jù)有界函數(shù)函數(shù)的定義,即可判斷出f(x)不是有界函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)有界函數(shù)的定義,可得|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,利用參變量分離轉(zhuǎn)化為
-4•2x-()x≤a≤2•2x-()x在[0,+∞)上恒成立,令t=2
x,則
h(t)=-4t-,
p(t)=2t-,問題轉(zhuǎn)化為求h(t)的最大值和p(t)最小值,利用函數(shù)單調(diào)性的定義,分別判斷出函數(shù)h(t)和p(t)的單調(diào)性,即可求得最值,從容求得a的取值范圍.
(Ⅲ)將函數(shù)g(x)=
變形為g(x)=-1+
,對參數(shù)m進(jìn)行分類討論,當(dāng)m>0時(shí),確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得g(x)的取值范圍,從而確定|g(x)|的范圍,利用有界函數(shù)的定義,轉(zhuǎn)化為|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,利用所求得的g(x)的范圍,即可求得T(m)的取值范圍,同理研究當(dāng)m=0和當(dāng)-1<m<0時(shí)的情況,綜上所求范圍,即可求得T(m)的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=1+a•(
)
x+(
)
x,
∴當(dāng)a=1時(shí),
f(x)=1+()x+()x,
∵y=
()x和y=
()x在R上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)>f(0)=3,
∴f(x)在(-∞,0)的值域?yàn)椋?,+∞),
∴|f(x)|>3,
故不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M成立,
∴函數(shù)f(x)在(-∞,0)上不是有界函數(shù);
(Ⅱ)∵函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),
∴由題意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,
∴-3≤f(x)≤3在[1,+∞)上恒成立,
∴
-4-()x≤a•()x≤2-()x在[0,+∞)上恒成立,
∴
-4•2x-()x≤a≤2•2x-()x在[0,+∞)上恒成立,
∴
[-4•2x-()x]max≤a≤[2•2x-()x]min,
令t=2
x,由x∈[0,+∞),可得t≥1,
∴
h(t)=-4t-,
p(t)=2t-,
下面判斷函數(shù)h(t)和p(t)的單調(diào)性:
設(shè)1≤t
1<t
2,則t
2-t
1>0,4t
1t
2-1>0,t
1t
2>0,2t
1t
2+1>0,
∴
h(t1)-h(t2)=>0,
p(t1)-p(t2)=<0,
∴h(t
1)>h(t
2),p(t
1)<p(t
2),
∴h(t)在[1,+∞)上遞減,p(t)在[1,+∞)上遞增
∴h(t)在[1,+∞)上的最大值為h(1)=-5,
p(t)在[1,+∞)上的最小值為p(1)=1,
∴-5≤a≤1,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5,1];
(Ⅲ)g(x)=
=-1+
,
①當(dāng)m>0時(shí),x∈[0,1],
∵y=m•x
2+1在[0,1]上單調(diào)遞增,
∴g(x)在[0,1]上遞減,
∴g(1)≤g(x)≤g(0),即
≤g(x)≤1,
∵
||<1,
∴|g(x)|<1,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴T(m)≥1;
②當(dāng)m=0時(shí),g(x)=1,|g(x)|=1,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴T(m)≥1;
③當(dāng)-1<m<0時(shí),x∈[0,1],
∵y=m•x
2+1在[0,1]上單調(diào)遞減,
∴g(x)在[0,1]上遞增,
∴g(0)≤g(x)≤g(1),即
1≤g(x)≤,
∴
|g(x)|<,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴
T(m)≥.
綜合①②③,當(dāng)m≥0時(shí),T(m)的取值范圍是[1,+∞),
當(dāng)-1<m<0時(shí),T(m)的取值范圍是
[,+∞).