Question

已知函數(shù)f（x）=x++b（x≠0），其中a、b為實(shí)常數(shù)．
（1）若方程f（x）=3x+1有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解x=2，求a、b的值；
（2）設(shè)a＞0，x∈（0，+∞），寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并對(duì)單調(diào)遞增區(qū)間用函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明；
（3）若對(duì)任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，原方程可化為2x²+（1-b）x-a=0，由即可解得a、b的值；
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)；利用定義證明時(shí)，先設(shè)x₁，x₂∈（，+∞），且x₁＜x₂，再作差f（x₂）-f（x₁）后化積討論即可；
（3）依題意得，可解得到b≤，從而可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．
解答：解：（1）由已知，方程）=x++b=3x+1有且僅有一個(gè)解x=2，
因?yàn)閤≠0，故原方程可化為2x²+（1-b）x-a=0，…（1分）
所以，…（3分）解得a=-8，b=9．…（5分）
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)．…（7分）
證明：設(shè)x₁，x₂∈（，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=x₂+-x₁-=（x₂-x₁）•，
因?yàn)閤₁，x₂∈（，+∞），且x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0．…（10分）
所以f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)．…（11分）
（3）因?yàn)閒（x）≤10，故x∈[，1]時(shí)有f（x）_max≤10，…（12分）
由（2），知f（x）在區(qū)間[，1]的最大值為f（）與f（1）中的較大者．…（13分）
所以，對(duì)于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，
即對(duì)任意的a∈[，2]成立．…（15分）
從而得到b≤．  …（17分）
所以滿足條件的b的取值范圍是（-∞，]．  …（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．