Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為AD、CC₁的中點(diǎn)，O為上底面A₁B₁C₁D₁的中心，則三棱錐O-MNB的體積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出三棱錐O-MNB的體積．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意得O（1，1，2），M（1，0，0），
B（2，2，0），N（0，2，1），

MO

=（0，1，2），

MB

=（1，2，0），

MN

=（-1，2，1），
|

MB

|=

1+4

=

5

，|

MN

|=

1+4+1

=

6

，
cos＜

MB

，

MN

＞=

-1+4+0

5 • 6

=

30

10

，
sin＜

MB

，

MN

＞=

1-( 30 10 )2

=

70

10

，
∴S_△MNB=

1

2

|

MB

|•|

MN

|•sin＜

MB

，

MN

＞
=

1

2

×

5

×

6

×

70

10

=

21

2

，
設(shè)平面MNB的法向量

n

=（x，y，z），
則

MB • n =x+2y=0 MN • n =-x+2y+z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，4），
∴點(diǎn)O到平面MNB的距離d=

| MO • n |

| n |

=

|0-1+8|

4+1+16

=

21

3

，
∴三棱錐O-MNB的體積V=

1

3

×S△MNB×d=

1

3

×

21

2

×

21

3

=

7

6

．
故答案為：

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．