已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為AD、CC1的中點，O為上底面A1B1C1D1的中心，則三棱錐O-MNB的體積是
 
．
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：空間位置關系與距離
分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐O-MNB的體積．
解答： 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，
建立空間直角坐標系，
則由題意得O（1，1，2），M（1，0，0），
B（2，2，0），N（0，2，1），
MO
=（0，1，2），
MB
=（1，2，0），
MN
=（-1，2，1），
|
MB
|=
1+4
=
5
，|
MN
|=
1+4+1
=
6
，
cos＜
MB
，
MN
＞=
-1+4+0
5
•
6
=
30
10
，
sin＜
MB
，
MN
＞=
1-(
30
10
)2
=
70
10
，
∴S△MNB=
1
2
|
MB
|•|
MN
|•sin＜
MB
，
MN
＞
=
1
2
×
5
×
6
×
70
10
=
21
2
，
設平面MNB的法向量
n
=（x，y，z），
則
MB
•
n
=x+2y=0
MN
•
n
=-x+2y+z=0
，取x=2，得
n
=（2，-1，4），
∴點O到平面MNB的距離d=
|
MO
•
n
|
|
n
|
=
|0-1+8|
4+1+16
=
21
3
，
∴三棱錐O-MNB的體積V=
1
3
×S△MNB×d=
1
3
×
21
2
×
21
3
=
7
6
．
故答案為：
7
6
．
點評：本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
π
2
＜α＜π，tanα-
1
tanα
=-
3
2
．
（Ⅰ）求tana的值；
（Ⅱ）求
cos(
3π
2
+α)-cos(π-α)
sin(
π
2
-α)
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
x-3
的定義域是（　�。�
A、（0，+∞）
B、[0，+∞）
C、[3，+∞）
D、（3，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥BB1；
（Ⅱ）若P是棱B1C1的中點，求平面PAB將三棱柱ABC-A1B1C1分成的兩部分體積之比．擼�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別為A1C1和BC的中點．
（1）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求證：C1F∥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3x+1，則過點（1，-1）的切線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為（-π，π），且函數(shù)y=f（x+
1
2
）的圖象關于直線x=-
1
2
對稱，當x∈（0，π）時，f（x）=-f′（
π
2
）sinx-πl(wèi)nx，其中f′（x）是y=f（x）的導函數(shù)，若a=f（30.3），b=f（logπ3），c=f（log2
1
4
），則a，b，c的大小關系是（　�。�
A、a＜b＜c
B、c＜a＜b
C、b＜a＜c
D、c＜b＜a

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列a，b，c成等比數(shù)列，數(shù)列a，
b(b-1)
2
，c成等差數(shù)列，當1＜a＜3＜c＜7時，b的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a
x
+x（a∈R）在[2，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（　�。�
A、（0，4）
B、（-∞，4]
C、（0，2）
D、（-∞，2]

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