Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求過點(diǎn)O、F，并且與直線l：x=-2相切的圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由a²=2，b²=1，可得c=1，F(xiàn)（-1，0），由于圓過點(diǎn)O、F，可得圓心M在直線x=-

1

2

上，設(shè)M(-

1

2

，t)，則圓半徑 r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

，由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，解得t即可得出．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由于直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，可得方程有兩個(gè)不等實(shí)根．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)，令y=0，得x_G=-

1

2

+

1

4k2+2

，即可得出．

解答： 解：（1）∵a²=2，b²=1，∴c=1，F(xiàn)（-1，0），
∵圓過點(diǎn)O、F，∴圓心M在直線x=-

1

2

上，
設(shè)M(-

1

2

，t)，則圓半徑 r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

，
由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，解得t=±

2

．
∴所求圓的方程為(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．
∴x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，
∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)，x0=

x1+x2

2

=

-2k2

1+2k2

，y₀=k（x₀+1）=

k

1+2k2

．
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-

2k2

1+2k2

+

k2

1+2k2

=-

k2

1+2k2

=-

1

2

+

1

4k2+2

，
∵k≠0，∴-

1

2

＜x_G＜0．
∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為(-

1

2

，0)．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、線段的垂直平分線，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．