Question

已知對任意，恒成立（其中），求的最大值.

Answer 1

的最大值為.

試題分析：利用二倍角公式，利用換元法，將原不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在區(qū)間上恒成立，利用二次函數(shù)的零點分布進行討論，從而得出的最大值，但是在對時的情況下，主要對二次函數(shù)的對稱軸是否在區(qū)間進行分類討論，再將問題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，
試題解析：由題意知，
令，，則當，恒成立，開口向上，
①當時，，不滿足，恒成立，
②當時，則必有     （1）
當對稱軸時，即，也即時，有，
則，，則，當，時，.
當對稱軸時，即，也即時，
則必有，即，又由（1）知，
則由于，故只需成立即可，
問題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，然后利用代數(shù)式的結構特點或從題干中的式子出發(fā)，分別利用三角換元法、導數(shù)法以及柯西不等式法來求的最大值.
法一：（三角換元）把條件配方得：，
，所以，
；
法二：（導數(shù)）
令 則即求函數(shù)的導數(shù),橢圓的上半部分

；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：

，當且僅當,即及時等號成立.即當時，最大值為2.
綜上可知.