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18.已知橢圓G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F2(1,0)的距離為2,平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓G上.
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)若直線(xiàn)AB和AD的斜率存在且分別為k1,k2,證明:k1•k2為定值;
(Ⅲ)當(dāng)直線(xiàn)AB和DC分別過(guò)橢圓G的左焦點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2時(shí),求四邊形ABCD面積的最大值.

分析 (Ⅰ)由題意可知:c=1,a=2,則b2=a2-c2=3,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)由B,D關(guān)于O對(duì)稱(chēng),設(shè)BD的方程y=kx,A(m,n),B(x0,kx0),D(-x0,-kx0),利用直線(xiàn)的斜率公式,即可求得k1•k2為定值;
(Ⅲ)分類(lèi)討論,當(dāng)AD所在直線(xiàn)與x軸垂直時(shí),求得A點(diǎn)坐標(biāo),即可求得四邊形ABCD面積,當(dāng)AD所在直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1),代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理求得丨AD丨,利用兩平行線(xiàn)之間的關(guān)系求得d,根據(jù)平行四邊形的面積公式,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得四邊形ABCD面積的最大值.

解答 解:(Ⅰ)由題意可知c=1,a=2,則b2=a2-c2=3,
∴橢圓G的方程x24+y23=1;
(Ⅱ)證明:由平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓G上,則B,D關(guān)于O對(duì)稱(chēng),
設(shè)BD的方程y=kx,A(m,n),B(x0,kx0),D(-x0,-kx0),橢圓的方程:3x2+4y2=12,
則3m2+4n2=12,3x02+4k2x02=12,
3(m2-x02)=4(k2x02-n2),
則k1=kx0nx0m,k2=kx0nx0m,
∴k1•k2=kx0nx0m×kx0nx0m=n2k2x20m2x20=-34,
∴k1•k2為定值-34;
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知:橢圓的左焦點(diǎn)F1(-1,0),橢圓的左焦點(diǎn)F2(1,0),
當(dāng)AD所在直線(xiàn)與x軸垂直時(shí),則AD所在直線(xiàn)方程為x=1,代入x24+y23=1,得y=±32,
∴平行四邊形ABCD的面積S=2×3=6;
當(dāng)AD所在直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1),
聯(lián)立{y=kx1x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),
則x1+x2=8k23+4k2,x1+x2=4k2123+4k2,
∴|AD|=1+k2x1+x224x1x2=1+k28k23+4k224×4k2123+4k2=121+k23+4k2,
兩條平行線(xiàn)間的距離d=2k1+k2
∴平行四邊形ABCD的面積S=丨AD丨×d=121+k23+4k2×2k1+k2=24k4+k23+4k22=241163+4k22183+4k23163+4k22,???
=2431613+4k2218×13+4k2+116,
由k2>0,3+4k2>3,0<13+4k213,
設(shè)g(t)=-316t2-18t+116,由g(t)在(0,13)單調(diào)遞減,
∴0<g(t)<116
∴S=2431613+4k2218×13+4k2+116<24×14=6,
綜上,平行四邊形ABCD面積的最大值為6.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式,二次函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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