分析 (Ⅰ)由題意可知:c=1,a=2,則b2=a2-c2=3,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)由B,D關(guān)于O對(duì)稱(chēng),設(shè)BD的方程y=kx,A(m,n),B(x0,kx0),D(-x0,-kx0),利用直線(xiàn)的斜率公式,即可求得k1•k2為定值;
(Ⅲ)分類(lèi)討論,當(dāng)AD所在直線(xiàn)與x軸垂直時(shí),求得A點(diǎn)坐標(biāo),即可求得四邊形ABCD面積,當(dāng)AD所在直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1),代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理求得丨AD丨,利用兩平行線(xiàn)之間的關(guān)系求得d,根據(jù)平行四邊形的面積公式,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得四邊形ABCD面積的最大值.
解答 解:(Ⅰ)由題意可知c=1,a=2,則b2=a2-c2=3,
∴橢圓G的方程x24+y23=1;
(Ⅱ)證明:由平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓G上,則B,D關(guān)于O對(duì)稱(chēng),
設(shè)BD的方程y=kx,A(m,n),B(x0,kx0),D(-x0,-kx0),橢圓的方程:3x2+4y2=12,
則3m2+4n2=12,3x02+4k2x02=12,
3(m2-x02)=4(k2x02-n2),
則k1=kx0−nx0−m,k2=−kx0−n−x0−m,
∴k1•k2=kx0−nx0−m×−kx0−n−x0−m=n2−k2x20m2−x20=-34,
∴k1•k2為定值-34;
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知:橢圓的左焦點(diǎn)F1(-1,0),橢圓的左焦點(diǎn)F2(1,0),
當(dāng)AD所在直線(xiàn)與x軸垂直時(shí),則AD所在直線(xiàn)方程為x=1,代入x24+y23=1,得y=±32,
∴平行四邊形ABCD的面積S=2×3=6;
當(dāng)AD所在直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1),
聯(lián)立{y=k(x−1)x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),
則x1+x2=8k23+4k2,x1+x2=4k2−123+4k2,
∴|AD|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(8k23+4k2)2−4×4k2−123+4k2=12(1+k2)3+4k2,
兩條平行線(xiàn)間的距離d=丨−2k丨√1+k2
∴平行四邊形ABCD的面積S=丨AD丨×d=12(1+k2)3+4k2×丨−2k丨√1+k2=24√k4+k2(3+4k2)2=24√116(3+4k2)2−18(3+4k2)−316(3+4k2)2,???
=24√−316(13+4k2)2−18×13+4k2+116,
由k2>0,3+4k2>3,0<13+4k2<13,
設(shè)g(t)=-316t2-18t+116,由g(t)在(0,13)單調(diào)遞減,
∴0<g(t)<116
∴S=24√−316(13+4k2)2−18×13+4k2+116<24×14=6,
綜上,平行四邊形ABCD面積的最大值為6.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式,二次函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | ¬p:?x∈R,log5x<0 | B. | ¬p:?x∈R,log5x≤0 | C. | ¬p:?x∈R,log5x≤0 | D. | ¬p:?x∈R,log5x<0 |
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A. | {-1} | B. | {0} | C. | {-1,0} | D. | {-1,0,1} |
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A. | 1個(gè) | B. | 2個(gè) | C. | 3個(gè) | D. | 4個(gè) |
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A. | x3<x1<x2 | B. | x3<x2<x1 | C. | x1<x3<x2 | D. | x1<x2<x3 |
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