Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$-ax²，其中a∈R．
（1）若a=1時，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$-x²，令$\frac{x}{x+2}$-x²=0，可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．
（2）當(dāng)a＞0時，若x＞0，由函數(shù)f（x）=0得：ax²+2ax-1=0，進(jìn)而可證得f（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$-x²，
令$\frac{x}{x+2}$-x²=0，可得可得 x=0，或x²+2x-1=0，
解得 x=0，或x=-1-$\sqrt{2}$，或x=-1+$\sqrt{2}$．
綜上可得，當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為 x=0，或x=-1-$\sqrt{2}$，或x=-1+$\sqrt{2}$
（2）證明：∵當(dāng)a＞0時，x＞0，由函數(shù)f（x）=0得：ax²+2ax-1=0，
記g（x）=ax²+2ax-1，
則g（x）的圖象是開口朝上的拋物線，
由g（0）=-1＜0得：
函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．