Question

1．下面有命題：
①y=|sinx-$\frac{1}{2}$|的周期是π；
②y=sinx+sin|x|的值域是[0，2]；
③方程cosx=lgx有三解；
④ω為正實(shí)數(shù)，y=2sinωx在$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$上遞增，那么ω的取值范圍是$（0，\frac{3}{4}]$；  
⑤在y=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）中，若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂必為π的整數(shù)倍；
⑥若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P（cosB-sinA，sinB-cosA在第二象限；
⑦在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，則△ABC鈍角三角形．其中真命題個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①，∵y=|sin（ωx-$\frac{1}{2}$|的周期是$\frac{π}{ω}$，；
②，當(dāng)x≥0時(shí)，y=sinx+sin|x|=2sinx值域不是[0，2]，；
③，∵lg2π＜1，lg4π＞1，方程cosx=lgx有三解，正確；
④，ω為正實(shí)數(shù)，y=2sinωx在$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$上遞增，由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得ω•$\frac{2π}{3}≤\frac{π}{2}$≤，由此求得正數(shù)ω的范圍是$（0，\frac{3}{4}]$，；  
⑤，函數(shù)的周期T=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為$\frac{T}{2}$，所以x₁-x₂必是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍；
⑥，若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，$\frac{π}{2}＞\\;B＞\frac{π}{2}-A$B＞$\frac{π}{2}$-A，則 cosB-sinA＜0，sinB-cosA＞0，；

解答 解：對(duì)于①，∵y=|sin（ωx-$\frac{1}{2}$|的周期是$\frac{π}{ω}$，故正確；
對(duì)于②，當(dāng)x≥0時(shí)，y=sinx+sin|x|=2sinx值域不是[0，2]，故錯(cuò)；
對(duì)于③，∵lg2π＜1，lg4π＞1，方程cosx=lgx有三解，正確；
對(duì)于④，ω為正實(shí)數(shù)，y=2sinωx在$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$上遞增，由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得ω•$\frac{2π}{3}≤\frac{π}{2}$≤，由此求得正數(shù)ω的范圍是$（0，\frac{3}{4}]$，故正確；  
對(duì)于⑤，函數(shù)的周期T=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為$\frac{T}{2}$，所以x₁-x₂必是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍．故錯(cuò)；
對(duì)于⑥，若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，$\frac{π}{2}＞\\;B＞\frac{π}{2}-A$B＞$\frac{π}{2}$-A，則 cosB-sinA＜0，sinB-cosA＞0，故正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假，涉及到三角函數(shù)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．