Question

一半徑為2m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每3s轉(zhuǎn)一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P₀）開始計算時間．
（1）試建立適當?shù)淖鴺讼�，將點P距離水面的高度h（m）表示為時間t（s）的函數(shù)；
（2）點P第一次到達最高點大約要多長時間？
（3）記f（t）=h，求證：不論t為何值，f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．

Answer 1

解：（1）以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，
設(shè)h=Asin（ωt+φ）+k，（﹣＜φ＜0），
則A=2，k=1，
∵T=3=，
∴ω=
∴h=2sin（t+φ）+1，
∵t=0，h=0，
∴0=2sinφ+1，
∴sinφ=﹣，
∴﹣＜φ＜0，
∴φ=﹣，
∴h=2sin（t﹣）+1
（2）令2sin（t﹣）+1=3，
得sin（t﹣）=1，
∴t﹣=，
∴t=1，
∴點P第一次到達最高點大約要1s的時間；
（3）由（1）知：f （t）=2sin（t﹣）+1=sint﹣cost+1，
f （t+1）=2sin（t+）+1=2cost+1，
f （t+2）=2sin（t+）+1=﹣sint﹣cost+1，
∴f （t）+f （t+1）+f （t+2）=3（為定值）．