Question

一半徑為2m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P₀）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．
（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度h（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；
（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？
（3）記f（t）=h，求證：不論t為何值，f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω，當(dāng)t=0時(shí)，h=0，進(jìn)而求得φ的值，則函數(shù)的表達(dá)式可得；
（2）令最大值為3，可得三角函數(shù)方程，進(jìn)而可求點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間；
（3）由（1）可求：f （t），f （t+1），f （t+2），進(jìn)而可求f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．

解答：解：（1）以水輪所在平面與水面的交線(xiàn)為x軸，以過(guò)點(diǎn)O且與水面垂直的直線(xiàn)為y軸，
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)h=Asin（ωt+?）+k，（-

π

2

＜?＜0），
則A=2，k=1，
∵T=3=

2π

ω

，
∴ω=

2π

3

∴h=2sin（

2π

3

t+?）+1，
∵t=0，h=0，
∴0=2sin?+1，
∴sin?=-

1

2

，
∵-

π

2

＜?＜0，
∴?=-

π

6

，
∴h=2sin（

2π

3

t-

π

6

）+1
（2）令2sin（

2π

3

t-

π

6

）+1=3，得sin（

2π

3

t-

π

6

）=1，
∴

2π

3

t-

π

6

=

π

2

，
∴t=1，
∴點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要1s的時(shí)間；
（3）由（1）知：f （t）=2sin（

2π

3

t-

π

6

）+1=

3

sin

2π

3

t-cos

2π

3

t+1，
f （t+1）=2sin（

2π

3

t+

π

2

）+1=2cos

2π

3

t+1，
f （t+2）=2sin（

2π

3

t+

7π

6

）+1=-

3

sin

2π

3

t-cos

2π

3

t+1，
∴f （t）+f （t+1）+f （t+2）=3（為定值）．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查三角函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建三角函數(shù)式，利用待定系數(shù)法求得．