Question

（2012•濟(jì)南二模）已知點(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，實(shí)數(shù)x，y滿足

PA

+x

PB

+y

PC

=0．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S₁，S₂，S₃，記

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3．則λ₂•λ₃取最大值時(shí)，2x+y的值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知λ1+λ2+λ3=1，λ1=

1

2

，λ2+λ3=

1

2

，λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)，能求出λ₂•λ₃取最大值時(shí)，2x+y的值．

解答：解：∵△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S₁，S₂，S₃，

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3．
∴λ1+λ2+λ3=

S1+S2+S3

S

=1，
∵P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，
∴λ1=

1

2

，λ2+λ3=

1

2

∴λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)，
∵實(shí)數(shù)x，y滿足

PA

+x

PB

+y

PC

=0，
∴由

PA

=-

1

2

(

PB

+

PC

)，
得到x=

1

2

，y=

1

2

，2x+y=

3

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．