已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),若橢圓C的焦距為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),以M為圓心,MF1為半徑作圓M,當(dāng)圓M與直線(xiàn)l:x=
a2
c
有公共點(diǎn)時(shí),求△MF1F2面積的最大值.
分析:(1)根據(jù)焦距為2求出c的值,再由離心率為
1
2
可求出a的值,進(jìn)而得到b的值寫(xiě)出橢圓方程.
(2)先設(shè)M的坐標(biāo)為(x0,y0)根據(jù)題意滿(mǎn)足
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1
,再表示出直線(xiàn)l的方程,因?yàn)閳AM與l有公共點(diǎn)可得到M到l的距離4-x0小于或等于圓的半徑R,整理可得到關(guān)系y02+10x0-15≥0,再由則
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1
消去y0,求出x0的取值范圍,再表示出△MF1F2面積即可求出最大值.
解答:解:(1)因?yàn)?c=2,且
c
a
=
1
2
,所以c=1,a=2.
所以b2=3.
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1

因?yàn)镕1(-1,0),
a2
c
=4
,
所以直線(xiàn)l的方程為x=4.
由于圓M與l有公共點(diǎn),
所以M到l的距離4-x0小于或等于圓的半徑R.
因?yàn)镽2=MF12=(x0+1)2+y02
所以(4-x02≤(x0+1)2+y02,
即y02+10x0-15≥0.
又因?yàn)?span id="megmdvq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
y
2
0
=3(1-
x
2
0
4
),
所以3-
3
x
2
0
4
+10x0-15≥0

解得
4
3
x0≤12
.又
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1
,∴
4
3
x0<2

當(dāng)x0=
4
3
時(shí),|y0|=
15
3

所以(S△MF1F2)max=
1
2
×2×
15
3
=
15
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線(xiàn)與橢圓的綜合題.直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的綜合題是高考的重點(diǎn),每年必考,經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn),要想答對(duì)此題必須熟練掌握其基礎(chǔ)知識(shí),對(duì)各種題型多加練習(xí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿(mǎn)足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線(xiàn)l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線(xiàn)l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線(xiàn)l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線(xiàn)l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線(xiàn)x=2的垂線(xiàn)AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線(xiàn)l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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