Question

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為

1

2

，求出幾何量，即可求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求出k，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知2a=4，

c

a

=

1

2

．解得a=2，c=1，所以b²=a²-c²=3，
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）由M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，代入橢圓方程可得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
由△=（-16k）²-16（4k²+3）=12k²-3＞0，得k＜-

1

2

或k＞

1

2

              …（8分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，y₁y₂=

-28k2

4k2+3

+4
由（Ⅰ）得橢圓C的右頂點(diǎn)A（2，0），
因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，
所以k_AMk_AN=-1，
∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

-28k2

4k2+3

+4+

4

4k2+3

-

32k

4k2+3

+4=0，
∴k²-8k+7=0，解得k=7或k=1
當(dāng)k=1時(shí)，l：y=x-2，直線過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A（2，0），舍去；
當(dāng)k=7時(shí)，l：y=7x-2．
綜上可知，直線l的方程是y=7x-2      …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．