Question

16．已知橢圓$\frac{y^2}{5}+{x^2}=1$與拋物線x²=ay有相同的焦點(diǎn)F，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 利用拋物線的定義由|AF|=4得到A到準(zhǔn)線的距離為4，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后利用平面幾何的方法即可求出距離之和的最小值．

解答 解：∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+x²=1，a=$\sqrt{5}$，b=1，則c²=5-1=4，即c=2，則橢圓的焦點(diǎn)為（0，±2），
不妨取焦點(diǎn)（0，2），
∵拋物線x²=ay，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{a}{4}$），
∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+x²=1與拋物線x²=ay有相同的焦點(diǎn)F，
∴$\frac{a}{4}$=2，即a=8，則拋物線方程為x²=8y，準(zhǔn)線方程為y=-2，
∵|AF|=4，由拋物線的定義得，
∴A到準(zhǔn)線的距離為4，y+2=4，
即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=2，
又點(diǎn)A在拋物線上，
∴x=±4，不妨取點(diǎn)A的坐標(biāo)A（4，2）；
A關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B（4，-6）
則|PA|+|PO|=|PB|+|PO|≥|OB|，
即O，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，
最小值為|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+（-6）^{2}}$=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$，
故答案為：2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解決最小值問(wèn)題，靈活運(yùn)用點(diǎn)到點(diǎn)的距離、對(duì)稱性化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．