Question

7．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a≠0，q：實(shí)數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$
（Ⅰ）若a=1，p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢q是￢p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若p∧q為真，則p真且q真，將a=1代入，分別解兩個(gè)不等式（組），再求其交集可得實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢q是￢p的必要不充分條件，即q⇒p為真且p⇒q為假，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
當(dāng)a=1時(shí)，解得1＜x＜3，即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，得2＜x≤3，即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3．
若p∧q為真，則p真且q真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．
（Ⅱ）￢q是￢p的必要不充分條件，即q⇒p為真且p⇒q為假，
設(shè)A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，則B?A，
又B=（2，3]，
當(dāng)a＞0時(shí)，A=（a，3a）；
a＜0時(shí)，A=（3a，a）．
所以當(dāng)a＞0時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\end{array}\right.$解得1＜a≤2；
當(dāng)a＜0時(shí)，顯然A∩B=∅，不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，二次不等式的解法，難度中檔．