Question

19．若函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，則稱(chēng)f（x）為函數(shù)的一個(gè)“等值映射區(qū)間”．下列函數(shù)：①y=x²-1；②y=2+log₂x；③y=2^x-1；④$y=\frac{1}{x-1}$．其中，存在唯一一個(gè)“等值映射區(qū)間”的函數(shù)有2個(gè)．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，則稱(chēng)f（x）為函數(shù)的一個(gè)“等值映射區(qū)間”．根據(jù)新定義可知，“等值映射區(qū)間”即是函數(shù)與另一函數(shù)y=x有兩個(gè)交點(diǎn)．即可判斷．

解答 解：根據(jù)新定義可知，“等值映射區(qū)間”即是函數(shù)與另一函數(shù)y=x有兩個(gè)交點(diǎn)．[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，可見(jiàn)[m，n]是單調(diào)遞增．
對(duì)于①y=x²-1；根據(jù)新定義可得：x²-1=x，方程有兩個(gè)解，即函數(shù)y=x²-1與函數(shù)y=x有兩個(gè)交點(diǎn)．但在同一增區(qū)間上只有一個(gè)，故①不是；
對(duì)于②y=2+log₂x；根據(jù)新定義可得：2+log₂x=x，即函數(shù)y=2+log₂x與函數(shù)y=x有兩個(gè)交點(diǎn)．且在定義域內(nèi)都是遞增，故②是；
對(duì)于③y=2^x-1；根據(jù)新定義可得：2^x-1=x，即函數(shù)y=2^x-1與函數(shù)y=x有兩個(gè)交點(diǎn)．且在定義域內(nèi)都是遞增，故③是；
對(duì)于④$y=\frac{1}{x-1}$；根據(jù)新定義可得：x²-x=1，方程有兩個(gè)解，即函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$與函數(shù)y=x有兩個(gè)交點(diǎn)．但在同一增區(qū)間是只有一個(gè)，故④不是；
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的理解和定義域，值域的關(guān)系的運(yùn)用．屬于中檔題．