Question

10．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點（2，0）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點P（1，0）的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于A、B兩點，設點B關于x軸的對稱點為B'．直線AB'與x軸的交點Q是否為定點？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點（2，0）在橢圓C上，可得a=2，又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，解出即可得出．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B'（x₂，-y₂），Q（n，0）．設直線AB：y=k（x-1）（k≠0）．與橢圓方程聯(lián)立得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．直線AB'的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$，令y=0，解得n，又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），再利用根與系數(shù)的關系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）因為點（2，0）在橢圓C上，所以a=2．
又因為$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=\sqrt{3}$．
所以$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$．
所以橢圓C的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．             …（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B'（x₂，-y₂），Q（n，0）．
設直線AB：y=k（x-1）（k≠0）．…（6分）
聯(lián)立y=k（x-1）和x²+4y²-4=0，得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．…（8分）
直線AB'的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$，…（9分）
令y=0，解得$n=-\frac{{{y_1}（{x_1}-{x_2}）}}{{{y_1}+{y_2}}}+{x_1}=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}$…（11分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以$n=\frac{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}-2}}=4$．…（13分）
所以直線AB'與x軸的交點Q是定點，坐標為Q（4，0）．…（14分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、直線經(jīng)過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．