Question

【題目】已知雙曲線=1，P為雙曲線右支上除x軸上之外的一點(diǎn)．

（1）若∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面積．

（2）若該雙曲線與橢圓+y2=1有共同的焦點(diǎn)且過點(diǎn)A（2，1），求△F1PF2內(nèi)切圓的圓心軌跡方程．

Answer 1

【答案】(1) b2(2) x=（y≠0）.

【解析】

（1）設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，運(yùn)用雙曲線的定義和余弦定理，三角形的面積公式，化簡可得所求面積；

（2）由內(nèi)切圓的切線的性質(zhì)和雙曲線的定義，化簡可得內(nèi)心的橫坐標(biāo)為a，求得雙曲線的方程，可得所求軌跡方程．

解：（1）∠F1PF2=θ，設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，

由雙曲線的定義可得m-n=2a，

4c2=m2+n2-2mncosθ=（m-n）2+2mn-2mncosθ=4a2+2mn（1-cosθ），

可得mn=，

則△F1PF2的面積為S=mnsinθ=b2=b2；

（2）如圖所示：F1（-c，0）、F2（c，0），

設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，

PF1、PF2與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為A、B，

由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a，

由圓的切線長定理知，|PA|=|PB|，

故|AF1|-|BF2|=2a，

即|HF1|-|HF2|=2a，

設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，

故（x +c）-（c-x）=2a，

∴x=a；

該雙曲線與橢圓+y2=1有共同的焦點(diǎn)（±，0），

且過點(diǎn)A（2，1），可得a2+b2=3，-=1，

解得a=，b=1，

可得△F1PF2內(nèi)切圓的圓心軌跡方程為x=（y≠0）．