如圖，已知點F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：x2+（y-3）2=1．
（1）若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，求動點M的軌跡E的方程；
（2）過點F的直線g交軌跡E于G（x1，y1）、H（x2，y2）兩點，求證：x1x2 為定值；
（3）過軌跡E上一點P作圓C的切線，切點為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點P的坐標及S的最小值．
分析：（1）由動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，可得M到點F的距離與它到直y=-1的距離相等，由拋物線的定義可知M的軌跡是以F為焦點，以y=-1為準線的拋物線，從而可求方程
（2）由題意可得直線g的斜率存在，故可設直線g的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線與拋物線方程，由方程的根與系數(shù)關系可求
（3）設P（x，y），則x2=4y（y≥0），由圓的切線性質(zhì)可得S四邊形PACB=2S△PAC=2×
1
2
×PA×AC=PA=
PC2-1
=
x2+(y-3)2-1 
=
y2-2y+8 
，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求最小值及取得最小值時的 p
解答：解：（1）由動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，可得M到點F的距離與它到直y=-1的距離相等
由拋物線的定義可知M的軌跡是以F為焦點，以y=-1為準線的拋物線
其方程為x2=4y
（2）由題意可得直線g的斜率存在，故可設直線g的方程為y=kx+1
聯(lián)立方程
y=kx+1
x2=4y
  整理可得 x2-4kx-4=0
由方程的根與系數(shù)關系可得x1x2=-4
 （3）設P（x，y），則x2=4y（y≥0）
由圓的切線的性質(zhì)可得PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB
S四邊形PACB=2S△PAC=2×
1
2
×PA×AC=PA
=
PC2-1
=
x2+(y-3)2-1 
=
y2-2y+8 
=
(y-1)2+7
≥
7

∴P（±2，1），Smin=
7

點評：本題主要考查了利用拋物線的定義求解拋物線的方程，方程的根與系數(shù)關系的應用，圓的切線性質(zhì)的應用及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值等知識的綜合應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點，過點P作m的垂線，垂足為點Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）（文）過軌跡C的準線與y軸的交點M作方向向量為
d
=（a，1）的直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B，問是否存在實數(shù)a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由；
（3）（文）在問題（2）中，設線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D（0，y0），求y0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點，過點P作m的垂線，垂足為點Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）（理）過軌跡C的準線與y軸的交點M作直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B，且線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D（0，y0），求y0的取值范圍；
（3）（理）對于（2）中的點A、B，在y軸上是否存在一點D，使得△ABD為等邊三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知點F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且·＝·.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線l于點M，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．　　

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆湖南省高二上學期第三次月考文科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，已知點F(2,0），點P在y 軸上運動，過P作PM⊥PF交x軸于M，延長MP到點N，使|PN|=|PM|．

⑵  求動點Ｎ的軌跡Ｃ的方程；

⑵在⑴中所求的曲線C上有三點A(x1,y1),Ｂ(x2,y2),D(x3,y3)，若|AF|、|BF|、|DF|成等差數(shù)列，且線段AD的中垂線與x軸的交點為(6,0),求點B的坐標。

 

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