Question

設(shè)a＞0，f（x）=

3x

a

+

a

3x

是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x）得f（-1）=-f（1），代入函數(shù)解析式列出方程，可求得a的值；
（2）先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，即設(shè)值、作差、變形、定符號和下結(jié)論步驟；
（3）利用基本不等式求出f（x）的最小值，再得到函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=

3x

a

+

a

3x

是R上的偶函數(shù)，
所以f（-x）=f（x），則f（-1）=f（1），
即

3-1

a

+

a

3-1

=

3

a

+

a

3

，化簡得a²=1，
又a＞0，所以a=1；
（2）由（1）得，f(x)=3x+

1

3x

，則f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
任取x₁、x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=3x1+

1

3x1

-（3x2+

1

3x2

）
=（3x1-3x2）+

3x2-3x1

3x1•3x2

=

(3x1-3x2)(3x13x2-1)

3x1•3x2

，
由0≤x₁＜x₂，得3x1-3x2＜0，3x1•3x2＞1，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）因?yàn)?^x＞0，所以f(x)=3x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)3x=

1

3x

時取等號，函數(shù)f（x）取到最小值2，
所以函數(shù)的值域是[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的定義、性質(zhì)，基本不等式求函數(shù)的最值，以及函數(shù)單調(diào)性的證明方法：定義法，屬于中檔題．