Question

1．已知曲線C₁：x²+y²=4，點N是曲線C₁上的動點．
（1）已知定點M（-3，4），動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，求動點P的軌跡方程；
（2）設點A為曲線C₁與x軸的正半軸交點，將A沿逆時針旋轉$\frac{2π}{3}$得到點B，點N在曲線C₁上運動，若$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知向量等式變形，可得，$|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{ON}|=2$，則點P在以M為圓心2為半徑的圓上，由此求得點P的軌跡方程；
（2）設（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），N（2cosθ，2sinθ），由$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$可得m，n與θ的關系，求得m+n=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，然后利用輔助角公式化簡求最值．

解答 解：（1）由 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}$，
即$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{ON}$，∴$|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{ON}|=2$，
∴點P在以M為圓心2為半徑的圓上，
故點P的軌跡方程為（x+3）²+（y-4）²=4；
（2）設（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），N（2cosθ，2sinθ）．
由$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，得（2cosθ，2sinθ）=m（2，0）+n（-1，$\sqrt{3}$），
得$\left\{\begin{array}{l}{2cosθ=2m-n}\\{2sinθ=\sqrt{3}n}\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}{m=cosθ+\frac{sinθ}{\sqrt{3}}}\\{n=\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}}\end{array}\right.$．
∴m+n=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（$θ+\frac{π}{6}$），θ∈[0，2π）．
故當$θ=\frac{π}{3}$時，m+n有最大值2．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查平面向量及其應用，訓練了利用輔助角公式求三角函數的最值，是中檔題．