Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．已知an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)．
（Ⅰ）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）若a₁=a（a為常數(shù)），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)Tn=

S4n-55

(n- 5 2 )2

(n∈N*)，求數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用數(shù)列的遞推公式，分別令n=1，2，3依次計(jì)算可求得a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）在an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)中，分別以2n，2n-1代n（第Ⅰ問(wèn)已做了由特殊到一般的鋪墊），得出 a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．繼而得出 a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，所以 a_2n+3=a_2n-1（n∈N*）．當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁；當(dāng)n=2k-1（k∈N*）時(shí)，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁．由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N^*）．所以 a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁．最后得出分段形式的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）在求出（Ⅱ）的基礎(chǔ)上，應(yīng)用分組求和法，得出 S4n=8n2+2n．繼而 Tn=

8n2+2n-55

(n- 5 2 )2

=

42

n- 5 2

+8．再利用函數(shù)的思想研究其單調(diào)性，求出數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)．

解答：（本小題滿(mǎn)分11分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?nbsp;an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)，a₁=1，
所以當(dāng)n=1時(shí)，有a₂-a₁=1，得出 a₂=2，
同理當(dāng)n=2時(shí)求得a₃=1，
當(dāng)n=3時(shí)求得a₄=6．…（2分）
（Ⅱ）因?yàn)?nbsp;an+1+(-1)nan=2n-1，
所以 a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．
兩式相減得a_2n+1+a_2n-1=2．
所以 a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，
所以 a_2n+3=a_2n-1（n∈N*）．
當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁；
當(dāng)n=2k-1（k∈N*）時(shí)，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁．
由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N*）．
所以 a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁．
因?yàn)?nbsp;a₁=a，
所以 an=

a，n=4k-3 2n-3+a，n=4k-2 2-a，n=4k-1 2n-1-a，n=4k

(k∈N*)．…（7分）
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n（n∈N*），則S_4n=b₁+b₂+…+b_n．
類(lèi)似（Ⅱ）可得 b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=16n-6．
所以 {b_n}為首項(xiàng)為10，公差為16的等差數(shù)列．
所以 S4n=8n2+2n．
因?yàn)?nbsp;Tn=

S4n-55

(n- 5 2 )2

(n∈N*)，
所以 Tn=

8n2+2n-55

(n- 5 2 )2

=

42

n- 5 2

+8．
所以 T₁=-20，T₃=92．
因?yàn)?nbsp;函數(shù)f(x)=

42

x- 5 2

+8的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，

5

2

)，(

5

2

，+∞)，
所以 數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)是92．…（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的應(yīng)用及求解，函數(shù)思想，分類(lèi)與整合思想，以及由特殊到一般的認(rèn)識(shí)問(wèn)題解決問(wèn)題的思維過(guò)程，考查邏輯思維能力，推理計(jì)算能力．