若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=
1
pn-q
,實(shí)數(shù)p,q滿足p>q>0且p>1,sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求證:當(dāng)n≥2時,pan<an-1;
(2)求證sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)
;
(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求證sn
2
3
分析:(1)利用通項(xiàng)及實(shí)數(shù)p,q滿足p>q>0且p>1,即可證得;
(2)由(1)進(jìn)行放縮,再求和,即可得到結(jié)論;
(3)對通項(xiàng)i型放縮,再利用等比數(shù)列的求和公式,即可證得.
解答:證明:(1)當(dāng)n≥2時,pan=
1
pn-1-
q
p
1
pn-1-q
=an-1

∴pan<an-1…(2分)
(2)由(1)得an
1
p
an-1
1
p2
an-2<…<
1
pn-1
a1
…(4分)
所以
n
i=1
ai<(
1
pn-1
+
1
pn-2
+…+
1
p
)a1
=
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)

所以Sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)
…(6分)
(3)an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
1
2n+1(2n-
3
2
)

由(1)得
1
2n-
3
2
1
2
×
1
2n-1-
3
2
1
22
×
1
2n-2-
3
2
<…<
1
2n-1
×
1
2-
3
2
=2×
1
2n-1

所以an
2
4n
…(8分)
所以Sn
1
3
+(
2
42
+
2
43
+…+
2
4n
)
2
3

所以Sn
2
3
…(10分)
點(diǎn)評:本題考查不等式的證明,考查等比數(shù)列的求和公式,考查放縮法的運(yùn)用,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
a
 
n
=5×(
2
5
)2n-2-4×(
2
5
)n-1(n∈N+)
,{an}的最大值為第x項(xiàng),最小項(xiàng)為第y項(xiàng),則x+y等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
4x+2
(x∈R).
(1)已知點(diǎn)(1,
1
6
)
在f(x)的圖象上,判斷其關(guān)于點(diǎn)(
1
2
1
4
)
對稱的點(diǎn)是否仍在f(x)的圖象上;
(2)求證:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
對稱;
(3)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(
n
m
)
(m∈N*,n=1,2,…,m),求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)
,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函數(shù)y=f(x)圖象上兩點(diǎn),且線段P1P2中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是
1
2

(1)求證點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值; 
(2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=f(
n
m
)
(m∈N*),n=1,2…m),求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm; 
(3)在(2)的條件下,若m∈N*時,不等式
am
Sm
am+1
Sm+1
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2003•北京)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=
3-n+(-1)n3-n
2
,n=1,2,…
,則
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)
等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寶山區(qū)一模)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3-n+(-2)-n+1,則 
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)
=
7
6
7
6

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