Question

已知直線l：ax-y+

2

-a=0（a∈R），圓O：x²+y²=4．
（Ⅰ）求證：直線l與圓O相交；
（Ⅱ）判斷直線l被圓O截得的弦何時最短？并求出最短弦的長度；
（Ⅲ）如圖，已知AC、BD為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，

2

），求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）判斷直線恒過定點，證明點在圓的內(nèi)部，即可得到結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直線l過定點M(1，

2

)，當l⊥OM時，弦長最短；
（Ⅲ）設圓心O到AC、BD的距離為d₁、d₂，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有d12+d22=3，表示出AC，BD，可得四邊形ABCD的面積，利用基本不等式，即可求得最大值．

解答：（Ⅰ）證明：直線l：y-

2

=a(x-1)，所以直線l過定點(1，

2

)，
∵12+(

2

)2＜4，∴(1，

2

)在圓C內(nèi)部，
∴直線l與圓C相交．…3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，直線l過定點M(1，

2

)，當l⊥OM時，弦長最短．…4分
∴kl=-

1

kOM

=-

2

2

，∴a=-

2

2

此時，l的方程為x+

2

y-3=0，圓心到直線的距離d=

3

1+2

=

3

所以最短弦長：2

r2-d2

=2

4-3

=2…7分
（Ⅲ）解：設圓心O到AC、BD的距離為d₁、d₂，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有d12+d22=3
由平面幾何知識知：|AC|=2

4-d12

，|BD|=2

4-d22

∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

|AC|•|BD|=2

4-d12

4-d22

≤(4-d12)+(4-d22)
=8-(d12+d22)=5（當且僅當d₁=d₂取等號）
∴四邊形ABCD的面積的最大值為5．…12分．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查圓中弦長的計算，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．