Question

16．已知曲線C上任意一點P到兩個定點F₁（-2$\sqrt{3}$，0）和F₂（2$\sqrt{3}$，0）的距離之和為8．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C內(nèi)一點M（2，1）引一條弦AB，使弦被點M平分，求這條弦所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化所求曲線方程為橢圓的標準方程，求出橢圓的幾何量，即可得到橢圓的方程．
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用平方差法，轉(zhuǎn)化求解AB的斜率，然后求解AB的方程即可．

解答 解：（1）∵$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=8＞|{{F_1}{F_2}}|=4\sqrt{3}$，
∴曲線C是以F₁、F₂為焦點，以8為長軸長的橢圓，
∴設$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}2a=8\\{a^2}-{b^2}={（2\sqrt{3}）^2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=16\\{b^2}=4\end{array}\right.$，
∴曲線C的方程式$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵$\frac{{{x_1}^2}}{16}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$①，$\frac{{{x_2}^2}}{16}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1$②
∴由①-②可得，$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{16}=-\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{4}$
又∵當l_AB⊥x軸時，不符合題意，即（x₁-x₂）（y₁+y₂）≠0，
∴${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{4}{16}•\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=-\frac{1}{4}•\frac{{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}}}=-\frac{1}{4}×\frac{2}{1}=-\frac{1}{2}$
∴弦AB所在直線的方程為$y-1=-\frac{1}{2}（x-2）$，
即x+2y-4=0．

點評 本題考查軌跡方程的求法，橢圓的定義的應用，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，平方差法的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．