設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，試證3S≤I2＜4S．

答案：
解析：

　　證明：I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝a2＋b2＋c2＋2S．

　　故要證3S≤I2＜4S，只需證3S≤a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即S≤a2＋b2＋c2＜2S(這對(duì)于保證結(jié)論成立是充分必要的)．

　　欲證上左部分，只需證a2＋b2＋c2－ab－bc－ca≥0．即只需證(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)≥0(這對(duì)于保證前一定結(jié)論成立也是充要的)．要證上成立，可證三括號(hào)中子都不為負(fù)(這一條件對(duì)保證上結(jié)論成立是充分的，但它并不必要)，注意到：a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，b2＋c2－2bc＝(b－c)2≥0，c2＋a2－2ca＝(c－a)2≥0，故結(jié)論真．

　　欲證上右部分，只需證：a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，即要證：(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0．

　　欲證上，則至少要證以上三個(gè)括號(hào)中子之一小于零(這一條件對(duì)保證上結(jié)論成立只是必要的，但它并不充分)，即要證a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb之一真，也就是要證a＜b＋c，b＜c＋a，c＜a＋b之一真，它們顯然都成立，因?yàn)槿切我贿呅∮谄渌麅蛇吅停试闪ⅲ?/P>


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
，
b
，
c
為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足
a
與
b
不共線，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，則|
b
•
c
|的值一定等于   （　�。�
A、以
a
，
b
為鄰邊的平行四邊形的面積
B、以
b
，
c
為兩邊的三角形面積
C、
a
，
b
為兩邊的三角形面積
D、以
b
，
c
為鄰邊的平行四邊形的面積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
、
b
、
c
為同平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足
a
與
b
不共線，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，則|
b
•
c
|的值一定等于（　　）
A、以
a
、
b
為兩邊的三角形面積
B、以
a
、
b
為鄰邊的平行四邊形的面積
C、以
b
、
c
為兩邊的三角形面積
D、以
b
、
c
為鄰邊的平行四邊形的面積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有下列幾個(gè)命題：①若
a
與
b
-
c
都是非零向量，則“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點(diǎn)A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）；④設(shè)
a
，
b
，
c
為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足
a
與
b
不共線，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，則|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號(hào)是
 
．（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足a與b不共線，ac   ∣a∣=∣c∣,則∣b ?? c∣的值一定等于(     )

A． 以a，b為兩邊的三角形面積            B 以b，c為兩邊的三角形面積

C．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積        D 以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足a與b不共線，ac   ∣a∣=∣c∣,則∣b ?? c∣的值一定等于(     )

A． 以a，b為兩邊的三角形面積            B 以b，c為兩邊的三角形面積

C．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積        D 以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積

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同步練習(xí)冊(cè)答案