Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當x＞0時，有xf′（x）﹣f（x）＜0恒成立，則不等式x2f（x）＞0的解集是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【解析】解：構(gòu)造函數(shù)g（x）= ，g′（x）= ， 因為當x＞0時，有xf′（x）﹣f（x）＜0恒成立，即g′（x）= ＜0恒成立，
所以在（0，+∞）內(nèi)g（x）單調(diào)遞減．
因為f（2）=0，所以f（x）在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以在（﹣∞，﹣2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集等價為不等式f（x）＞0的解集．
所以不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
所以答案是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集，以及對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．