Question

17．若直線與圓x²+y²-2x-4y+a=0和函數(shù)$y=\frac{x^2}{4}$的圖象相切于同一點(diǎn)，則a的值為3．

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)為（t，$\frac{{t}^{2}}{4}$），求出切線方程，利用直線與圓x²+y²-2x-4y+a=0和函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}}{4}$的圖象相切于同一點(diǎn)，建立方程，求出t，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為（t，$\frac{{t}^{2}}{4}$），y′=$\frac{1}{2}x$，x=t時(shí)，y′=$\frac{1}{2}$t，
∴切線方程為y-$\frac{{t}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}t$（x-t），即y=$\frac{1}{2}$tx-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
∵一直線與圓x²+y²-2x-4y+a=0和函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}}{4}$的圖象相切于同一點(diǎn)，
∴$\frac{|\frac{1}{2}t-2-\frac{{t}^{2}}{4}|}{\sqrt{\frac{1}{4}{t}^{2}+1}}$=$\sqrt{（1-t）^{2}+（2-\frac{{t}^{2}}{4}）^{2}}$，∴t=2，
∴切點(diǎn)為（2，1），代入圓x²+y²-2x-4y+a=0，可得a=3，
故答案為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．