Question

已知函數(shù)f（x）=x³-+bx+c．
（1）若f（x）有極值，求b的取值范圍；
（2）當(dāng)f（x）在x=1處取得極值時(shí)，①若當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；②證明：對(duì)[-1，2]內(nèi)的任意兩個(gè)值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤．

Answer 1

【答案】分析：（1）若f（x）有極值，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，則方程有不等實(shí)數(shù)根，從而求得b的取值范圍；（2）當(dāng)f（x）在x=1處取得極值時(shí)，則f′（1）=0，可求得b的值，①若當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值小于c²即可求得c的取值范圍；②對(duì)[-1，2]內(nèi)的任意兩個(gè)值x₁，x₂，都有，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值的差≤即可．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴f′（x）=3x²-x+b，
要使f（x）有極值，則f′（x）=3x²-x+b=0有兩不等實(shí)根，
從而△=1-12b＞0，解得b＜．
（2）∵f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=3-1+b=0，∴b=-2．
①∴f（x）=x³-x²-2x+c，∵f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
∴當(dāng)x∈（-，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（-∞，-）和（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）有極大值+c，
又f（2）=2+c＞+c，f（-1）=+c＜+c，
∴x∈[-1，2]時(shí)，f（x）_max=f（2）=2+c，
∴c²＞2+c
∴c＜-1或c＞2．
②由上可知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值-+c又f（2）=2+c＞-+c，f（-1）=+c
＞-+c，∴x∈[-1，2]時(shí)，f（x）_min=-+c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=|2+c-（-+c）|=，
故結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，和求閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，在（2）的求解過(guò)程中，都轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法．屬難題．