Question

17．已知f（x）=ln（ax+b）+x²（a≠0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x，求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）≤x²+x恒成立，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （I）推導(dǎo)出$f'（x）=\frac{a}{ax+b}+2x$，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，能求出a，b的值．
（II）設(shè)g（x）=f（x）-（x²+x），則g（x）=ln（ax+b）-x，依題意g（x）≤0恒成立，根a＜0，a＞0兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出ab的最大值．

解答 解：（I）∵f（x）=ln（ax+b）+x²（a≠0），
∴$f'（x）=\frac{a}{ax+b}+2x$，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=\frac{a}{a+b}+2=1\\ f（1）=ln（{a+b}）+1=1\end{array}\right.$，
解得，a=-1，b=2；
（II）設(shè)g（x）=f（x）-（x²+x），則g（x）=ln（ax+b）-x，依題意g（x）≤0恒成立，
①a＜0時，g（x）定義域$（{-∞，-\frac{a}}）$，
取x₀使得$ln（{a{x_0}+b}）=-\frac{a}+1$，得${x_0}=\frac{{{e^{-\frac{a}}}-b}}{a}＜-\frac{a}$，
則$g（{x_0}）=ln（{a{x_0}+b}）-{x_0}＞ln（{a{x_0}+b}）-（{-\frac{a}}）=（{-\frac{a}+1}）+\frac{a}=1＞0$
與g（x）≤0矛盾，∴a＜0不符合要求，
②a＞0時，$g'（x）=\frac{a}{ax+b}-1=\frac{{-a（{x-\frac{a-b}{a}}）}}{ax+b}（{ax+b＞0}）$，
當(dāng)$-\frac{a}＜x＜\frac{a-b}{a}$時，g'（x）＞0；當(dāng)$x＞\frac{a-b}{a}$時，g'（x）＜0，
∴g（x）在區(qū)間$（{-\frac{a}，\frac{a-b}{a}}）$上為增函數(shù)，在區(qū)間$（{\frac{a-b}{a}，+∞}）$上為減函數(shù)，
∴g（x）在其定義域$（{-\frac{a}，+∞}）$上有最大值，最大值為$g（{\frac{a-b}{a}}）$，
由g（x）≤0，得$g（{\frac{a-b}{a}}）=lna-\frac{a-b}{a}≤0$，∴b≤a-alna，∴ab≤a²-a²lna，
設(shè)h（a）=a²-a²lna，則h'（a）=2a-（2alna+a）=a（1-2lna），
∴$0＜a＜\sqrt{e}$時，$h'（a）＞0；a＞\sqrt{e}$時，h'（a）＜0，
∴h（a）在區(qū)間$（{0，\sqrt{e}}）$上為增函數(shù)，在區(qū)間$（{\sqrt{e}，+∞}）$上為減函數(shù)，
∴h（a）的最大值為$h（{\sqrt{e}}）=e-\frac{e}{2}=\frac{e}{2}$，
∴當(dāng)$a=\sqrt{e}，b=\frac{{\sqrt{e}}}{2}$時，ab取最大值為$\frac{e}{2}$，
綜合①，②得，ab最大值為$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查兩數(shù)積最大值的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、構(gòu)造法、函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．