Question

12．在△ABC中，AC=$\sqrt{2}$，AB=2，∠BAC=135°，D是BC的中點，M是AD上一點，且$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，則$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$的值是（　�。�

• A． -$\frac{22}{9}$
• B． -$\frac{2}{9}$
• C． -$\frac{7}{3}$
• D． -$\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 運用向量數(shù)量積的定義求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，運用向量中點的表示，求得$\overrightarrow{AD}$，再由向量的加減運算可得$\overrightarrow{AM}$，可得$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AM}$），展開運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：AC=$\sqrt{2}$，AB=2，∠BAC=135°，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠BAC=2$\sqrt{2}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-2，
D是BC的中點，可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
且$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，即有$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
則$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AM}$）=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$）
=-$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$²+$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{2}{9}$×4-$\frac{2}{9}$×2-$\frac{5}{9}$×2=-$\frac{22}{9}$．
故選：A．

點評 本題考查向量的加減運算和向量中點的表示，以及向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方．考查運算能力，屬于中檔題．