Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x，求：
（1）它的最小正周期；
（2）它的最值；
（3）并指出在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)二倍角公式化簡f（x），再根據(jù)周期定義即可求出最小正周期；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出最值；
（3）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再判斷即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴它的最小正周期為π，
（2）有（1）可知最小值為-2，最大值為2，
（3）∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）在x∈[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z）上為增函數(shù)，
當(dāng)k=0時，為[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
當(dāng)k=1時，為[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．