Question

15．設(shè)函數(shù)f：N^•→N^•，并且對所有正整數(shù)n，有f（n+1）＞f（n），f（f（n））=3n，則f（2015）=（　�。�

• A． 2016
• B． 3858
• C． 4030
• D． 6045

Answer 1

分析 可令n=1，可得f（f（1））=3，討論f（1）=1，2，3，即可判斷f（1）=2，f（2）=3，進而求得f（3）=6，f（6）=9，…，f（54）=81，…，得到n與f（n）的關(guān)系，總結(jié)出一般規(guī)律，即可得到f（2015）的值．

解答 解：令n=1可得f（f（1））=3，
f（n）為正整數(shù)，若f（1）=1，把f（1）=1帶進去，就成了f（1）=3，矛盾．
要是f（1）=2，那就是f（2）=3，可能正確，
要是f（1）=3，那就是f（3）=3，不滿足f（n+1）＞f（n）．
所以f（1）=2，所以f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，
f（9）=f（f（6））=18，f（18）=f（f（9））=27，f（27）=f（f（18））=54，f（54）=f（f（27））=81，…，
即有n∈[1，2]，f（n）∈[2，3]，即f（n）與n一一對應(yīng)；
n∈[3，6]，f（n）∈[6，9]，即f（n）與n一一對應(yīng)；
n∈[9，18]，f（n）∈[18，27]，即f（n）與n一一對應(yīng)；
n∈[27，54]，f（n）∈[54，81]，即f（n）與n一一對應(yīng)；…；
則得到一般的規(guī)律，任意的n為自然數(shù)，存在m為自然數(shù)，
n∈[3^m，3^m+1]，n=3^m+k，
①n∈[3^m，2•3^m]，0≤k≤3^m，f（n）=f（3^m+k）=2•3^m+k；
②n∈[2•3^m，3^m+1]，3^m≤k≤3^m+1，f（n）=f（3^m+k）=2•3^m+3^m+3（k-3^m）=3k．
2015∈[2•3⁶，3⁷]，2015=3⁶+1286，f（2015）=1286×3=3858．
故選：B．

點評 本題考查抽象函數(shù)及運用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值和找出規(guī)律是迅速解題的關(guān)鍵，本題屬于難題．