Question

19．已知F為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點，l₁，l₂為C的兩條漸近線，點A在l₁上，且FA⊥l₁，點B在l₂上，且FB∥l₁，若$|{FA}|=\frac{4}{5}|{FB}|$，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)右焦點F（c，0），雙曲線的兩條漸近線方程為l₁：y=$\frac{a}$x，l₂：y=-$\frac{a}$x．由點到直線的距離公式，計算可得|FA|，再由兩直線平行的條件：斜率相等，可得直線FB的方程，聯(lián)立直線l₂，可得交點B的坐標(biāo)，運用兩點的距離公式，化簡整理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F（c，0），雙曲線的兩條漸近線方程為l₁：y=$\frac{a}$x，l₂：y=-$\frac{a}$x．①
則F到直線l₁的距離|FA|=$\frac{|bc-0|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
由FB∥l₁，可得直線FB的方程為y=$\frac{a}$（x-c），②
由①②可得x=$\frac{1}{2}$c，y=-$\frac{bc}{2a}$，
即有B（$\frac{1}{2}$c，-$\frac{bc}{2a}$），
|FB|=$\sqrt{（c-\frac{1}{2}c）^{2}+（\frac{bc}{2a}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$c$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}}{a}$，
由$|{FA}|=\frac{4}{5}|{FB}|$，
可得b=$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}}{a}$，即2c²=5ab，
兩邊平方可得4c⁴=25a²b²=25a²（c²-a²），
由e=$\frac{c}{a}$，可得4e⁴-25e²+25=0，
解得e²=5或e²=$\frac{5}{4}$，
即為e=$\sqrt{5}$或e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和點到直線的距離公式，以及兩直線平行的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．