Question

已知點(diǎn)A（1，1），B（1，-1），C（

2

cosθ，

2

sinθ）（θ∈R），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若實(shí)數(shù)m，n滿足m

OA

+n

OB

=2

OC

，求m²+n²；
（2）問(wèn)原點(diǎn)O能否成為△ABC的重心？

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以求出m，n，然后帶入m²+n²即可．
（2）先假設(shè)O是△ABC的重心，因?yàn)锳B的中點(diǎn)在x軸上，所以AB邊的中線在x軸上，所以可以求出C（-

2

，0）．這時(shí)可以求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，可以驗(yàn)證BC邊的中點(diǎn)不在直線OA上，所以O(shè)不是△AB的重心．C

解答： 解：（1）根據(jù)條件得：
m(1，1)+n(1，-1)=2(

2

cosθ，

2

sinθ)；
∴

m+n=2 2 cosθ m-n=2 2 sinθ

；
∴

m= 2 (sinθ+cosθ) n= 2 (cosθ-sinθ)

；
∴m²+n²=2（1+sin2θ）+2（1-sin2θ）=4．
（2）原點(diǎn)O不能成為△ABC的重心．如下圖：由A，B點(diǎn)的坐標(biāo)得線段AB的中點(diǎn)D（1，0），若O是△ABC的重心，OD便在線段AB的中線上，所以C在OD上，即C在x軸上；
∴

2

sinθ=0；
∴

2

cosθ=-

2

，∴C（-

2

，0）；
∴線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（

1- 2

2

，-

1

2

）．
AO是BC邊上的中線，并且直線AO的方程為：y=x；
顯然，線段BC的中點(diǎn)不在直線AO上；
∴所以O(shè)不是△ABC的重心．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，重心的概念，二倍角的正弦公式，sin²α+cos²α=1．